1. 배경

우리나라에서는 그동안 고준위 방사성폐기물(high-level waste; HLW) 로서 PWR이나 CANDU 사용후핵연료를 심 지층 내에 직접 처분하는 방안이 유력하게 논의되어왔다. 현 재에는 다소 개념의 변화가 있긴 하지만 이제까지 고려해온 처분 방식은 스웨덴의 KBS-3 처분개념[1]과 형태적으로나 기 능적으로나 매우 유사하다. 이는 심부 암반 지층에 처분 터널 을 굴착하고 터널 바닥에 처분공을 뚫어 각 처분공에 사용후 핵연료가 담긴 캐니스터를 처분하는 개념이다. 이러한 터널 과 그 하부의 처분공을 물리적으로 포괄하는“처분장”을 포 함하여 그 처분장의 영향권으로서 주변 생태계까지 확장되 는 넓은 공간적 개념으로서의“처분시스템”은 선호되는 지 하수 유동 경로와 우리 나라의 보편적인 지형적 영향을 고려 해 볼 때 Fig. 1에 모식적으로 도시된 형태로 해안가에 위치 하게 될 가능성이 높다. 지난 수년간 이러한 개념에 대해 안 전성 평가가 이루어져왔다.[2-9]

Fig. 1

Conceptual disposal system with nuclide release and transport.

처분시스템은 그 장기적인 방사선적 안전성과 물리적, 지화학적, 사회적 등 제반의 안정성이 모두 입증되어야 한 다. 그 중에서도 방사선적 안전성 측면에서의 처분장의 장 기적 성능이 가장 중요하다. 이러한 안전성을 보이기 위한 것이 방사선적 안전성평가다. 이를 통하여 모든 가능한 정 상 및 비정상 시나리오를 통하여 장기적으로 처분장에 처 분된 사용후핵연료에 의한 방사선적 위해로부터 인간이 거주 활동하는 생태계가 완벽하게 격리될 수 있음을 보여 주어야 한다.

방사선적 안전성평가의 궁극적 목표는 캐니스터로 부터 유출된 핵종이 처분시스템 내 지하수의 자연스러운 유동에 따라 인간 생태계로 이동하여 방사능의 위해를 주는 현상을 정량적으로 보이는 것이다. 이러한 정상적인 유출과 함께 어 떤 사고나 사건에 의해 비정상적으로 발생하는 핵종유출도 그 이동에 관련된 장기적 시나리오가 모두 평가되어야 하는 이유다. 이전 연구[2-9]에서 다뤄진 대로 정상적인 유출 시나 리오에 따르면 처분장에 지하수가 침투하여 캐니스터 등 처 분 용기가 부식되고 핵종의 유출이 시작되면 처분 시스템 내 근계 영역(near-field), 즉 폐기물이 처분된 처분장과 주변의 인공 방벽의 주된 구성 요소인 처분동 주변의 완충재나 터널 의 뒷채움재로 주로 농도 구배를 따라 확산적으로 전이되고 다시 지하수에 의해 처분장 주변 모암 등 자연방벽을 통해 이 류와 분산적 이동이 계속되어 자연방벽과 생태계의 경계로 서 GBI (gepsohere-biosphere interface)를 넘어 결국 생태 계에 이르는 것으로 간주하는 것이 일반적이다.

이러한 정상 시나리오는 처분 시스템의 각 요소 별로, 핵 종의 유출과 이동에 관여하는 다양한 현상이나 특성 및 사 건, 그리고 과정(feature, event, and process; FEP)을 인지 하고 이를 발생확률과 그 각각의 결과의 중대성 등을 고려 하여 FEP을 선별하고 다시 이들을 조합하여 구성되는 것이 보편적이다.

과거 일련의 연구에 도입된 방법론에서는 이러한 시나리 오를 보다 구체적으로 다루게 되어 근계영역을 빠져나온 핵 종은 처분 장 모암 내 자연 방벽으로 이루어지는 원계 영역 (far-field)으로 들어와 모암 내 지하수의 사실상 유동 통로가 될 수 있는 균열 네트워크를 형성하는 암반 매질을 지나, 단 층이나 보다 큰 규모의 균열 형태로서 지하수의 유동이 급격 하고 대량적으로 이루어지는 선택적 경로로서 MWCF (Major Water Conducting Feature or Fault) 지역에 이르는 것 으로 간주한다. 이는 보수적인 관점이지만 결국 MWCF를 통 하여 GBI를 지나 생태계로 유출하게 되고, 이후로는 인간 생 태 환경에서의 다양한 이동 및 피폭 경로를 통하여 인간에게 피폭을 주는 것으로 상정되는 것으로 평가가 진행되어왔다.

비정상 시나리오로서 사고 시나리오의 경우는 이러한 정 상 시나리오에 기반하여, 가령 지진이나 인간의 침입 등 우 발적 이거나 인위적 사고에 관한 FEP를 별도로 인지하여 이 를 추가로 고려하게 된다.

구성된 시나리오는 정량적 모사를 위하여 처분 시스템을 구성하는 여러 부분의 모듈로 나누어 이들 모듈내, 그리고 모 듈간 핵종의 거동에 대한 개념적 모델링 단계를 거쳐 실제 장 기적 모사를 위해 도구로의 이행을 위한 수학적 모델링을 통 해 비로소 처분 시스템의 안전성을 평가할 수 있는 수 있는, 보통 전산 코드라고 불리는 모사 및 평가가 가능한 전산 프로 그램의 개발로 이행된다.

한국원자력연구원에서는 이러한 정상/비정상 시나리 오의 도출을 통해 마련된 개념 및 수학적 모델을 전산 프로그램으로 이행하기 위한 수치모델링은 최근 수 십년 간 주로 GoldSim [10]을 이용하여 수행해오고 있다. 상용 프로 그램 개발 도구인 GoldSim으로 개발된 안전성평가 프로그 램은 처분시스템의 종합적 성능평가를 위한 전산 코드로서 가장 대표적인 것이 GSTSPA (GoldSim Total System Performance Assessment)[4]로 보통 우리가 안전성평가 템플 릿(template)이라고 부른다. 템플릿으로 개발된 프로그램은 해당 처분 시스템에 대해 필요한 입력자료만 준비되면 결정 론적으로는 물론, 혹은 입력 자료가 단일값이 아닌 분포로서 제공되는 경우라면 확률론적 종합안전성평가가 가능하도록 해준다는 의미이다. 결국 템플릿 프로그램은 다양한 정상 및 비정상 시나리오에 따라 처분장과 주변 방벽 및 인간 생태계 를 모두 포함하는 처분시스템 내 핵종의 거동과 이에 따른 인 간환경에 대한 영향 등을 효율적으로 평가할 수 있는 종합 안 전성 평가 도구를 지칭하는 것으로 된다. 다만“안전성”의 개념이 처분장의 존재로 인한 방사선적 위해를 받을 수 있는 대상으로서 생태환경 내 인간이 주체가 되고 대상으로 되는 관점이라면,“성능”의 개념은 그러한 위해에 대한 처분장의 장기적 폐기물 격리 능력으로 보는 처분장이 주체로 되는 관 점이 되어 안전성과 성능은 상호 주객의 관계를 맺는 개념으 로 볼 수 있게 된다.

처분시스템 내의 핵종의 거동은 이렇게 안전성 평가 의 주 대상을 이루게 되지만 시나리오의 도출 단계부터 이 를 개념적, 수학적 모델링으로 이행하여 다시 정량적 평가 가 가능한 도구로서의 프로그램으로 개발하고 이를 통하여 처분시스템내의 핵종이동에 따른 생태계의 위해에 대한 정 량적 평가를 수행하기 위해서는 다양한 입력 자료가 필요하 다. 그런데 안전성 평가를 위한 전 단계에 걸쳐 어떠한 형태 로든 필연적으로 입력자료와 정량적평가 자체에 대한 불확 실성이 개재된다. 따라서 이러한 불확실성을 가능한 한 정량 적으로 평가해내는 것이 필요한데 이는 신뢰성있는, 혹은 신 뢰도 높은, 혹은 보다 더 믿을만한 안전성 평가 결과의 제시 가 요구되기때문이다.

다만 모델 불확실도 측면에서 본다면 수치 모델의 경우 는 실제 처분장을 수학적 모델, 즉 상미분 혹은 편미분방정식 으로 구현하며 많은 가정과 불확실성을 감수하여야하는 반 면, 질량보존을 통한 질량의 이동과 분포에 관한 모사(simulation) 를 기반으로 하는 GoldSim 모델링에서는 그나마 다행 히도 이러한 수학적 엄밀함의 상실에서 기인하는 불확실성 이 끼어들 여지가 아무래도 좀 더 줄어들 수 있게 된다. 이는 편미분방정식을 해석적으로 혹은 수치적으로 풀게 되는 일 반적 수치(numerical) 모델과는 다르게 질량의 보존만을 염 두에 두는 방식으로서, 물리적 현상을 수학적으로 이행하여 핵종의 이동을 따라가는 모델링 방식보다는 편미분 방정식 의 이행을 통한 수학적 모델링을 거치지 않고 직접 핵종 즉 질량의 수지를 유지하며 그 분배를 따라 핵종의 거동을 들여 다 보는 모사(simulation)를 수행하는 방식[11]으로 되어 상 대적으로 모델링 불확실성에서 수학적, 수치적 모델링의 경 우보다 더 자유로운 편이라 볼 수 있다는 의미이다. 이 연구 에서는 모델의 불확실성을 다루진 않는다.

이 연구에서 다룰 입력 파라미터의 불확실성은 수치모델 에서든 모사방식에서든 공히 불가피한 것으로, 이는 이러한 수치 모델링 각 단계에 존재하는 불확실성을 총체적으로 모 델 불확실성으로 간주했을 때와는 별개로 또 하나의 불확실 성으로서 모델에 요구되는 입력 파라미터에 필요한 파라미 터값에 존재하기 때문이다. 입력 파라미터의 불확실성은 실 제 평가 결과에 가감없이 그대로 반영되므로 이 불확실성은 정량적으로 가능한 한 신뢰도가 높아지도록 방안을 강구하 여 불확실성을 정량적으로 평가해내는 것이 중요하다. 모델 불확실성이 구조적으로 피할 수 없는 편이라면 입력 파라미 터의 불확실성은 상대적으로 그 측정오차를 줄이거나 입력 값의 분포를 정확히 파악하는 방식으로 정성적, 정량적으로 들여다 볼 수 있어 모델불확실성에 비해서는 어느 정도 조정 의 여지가 있는 편이긴 하다.

그동안 GSTSPA를 사용한 다양한 확률론적 평가 연구가 많이 수행되어왔는데 이러한 평가는, 보편적으로 측정된 입 력 파라미터와 문헌 자료 등을 통하여 입력 파라미터의 값이 존재하는 범위와 최빈도 등을 적절한 통계적 분포로 표현하 거나 시계열 함수 등으로 나타낸 후 이를 통하여 적합한 분포 모형을 확률밀도함수(pdf)로 표현되는 파라미터의 분포 형 태로 도출해내어 이로부터 다수의 입력 파라미터의 값을 직 접적인 몬테 칼로 Monte Carlo 샘플링 기법을 통해 평가를 수행하여 확률론적 결과로서 정량적인 위해나 영향을 계산 해내는 방식이다.

그러나 이러한 방식도 여전히 문제점을 가지게 되는데 몬테 칼로(Monte Carlo) 샘플링을 통한 확률론적 평가가 수 행되는 경우 이 때 사용되는 입력 파라미터의 분포가 과연 어 느 정도 적절하며 어느 정도의 정량적 신뢰를 줄 수 있을지 에 대한 고찰이 필요하기때문이다. 예로서 천연방벽 내 균열 의 폭에 대한 일반적인 분포가 문헌 등에 다양하고 꽤 신뢰 도 높게 존재하지만 실제 처분이 이뤄지는 처분 시스템 내의 균열의 폭을 측정한 부지 특성적 결과에 비추어 여전히 믿을 만 한 것일까 하는 문제다. 기존의 분포와 비록 측정치가 많 지않아도 실제 측정치 간의 괴리를 어떻게 해석하여 실제 평 가에 적용하여야 할까 하는 문제로 귀결되어야 하는 이유다.

이 연구를 통하여 기존의 확률론적 안전성 평가 방법을 개선하여 이전에 이미 통념적으로 여전히 상당한 믿음을 가 지며 존재하는 일반적인 사전분포(prior distribution)와 새 롭게 측정한, 보다 신뢰도 있는 데이터를 합리적으로 통합 하여 이전의 분포도 여전히 독립적인 가치가 있겠지만 새로 운 측정을 통해 얻은 데이터를 가해 보다 한단계 더 믿음이 있는, 즉 신뢰성이 높은 새로운 입력 파라미터 값의 분포, 즉 사후분포(posterior distribution)를 취하는 방법론을 제안하 였다. 나아가 이러한 알고리듬을 GoldSim 모듈로 이행 개발 하여 기존의 GoldSim 템플릿 안전성 평가 프로그램에 추가 적으로 반영한 방법론을 새롭게 제시하였다. 이러한 연구의 중요한 동기는, 기존에 존재하는 분포의 일반적인 형태는 가 능한 한 취하되 새롭게 얻어지는 실제 측정치나 전문가들의 의견을 기존의 분포에 적용하며 두가지의 잇점을 함께 취하 는 것으로서 보다 더 높은 믿음, 즉 신뢰성을 갖는 입력 파라 미터의 분포를 얻을 수 있게 하고, 이러한 새로운 분포로부 터 보다 더 믿을 수 있는 확률론적 안전성 평가를 수행할 수 있기 때문이다.

2. 베이지안 업데이팅

전술하였듯 입력 파라미터의 정보가 부족한 상태에서 기 존의 분포를 개선하여 믿음의 정도(degree of belief), 즉 신 뢰도를 증가시키는 것이 이 연구의 주된 동기이다. 그 방법 론으로 베이지안 업데이팅(Bayesian updating)을 제안하였 다. 입력 파라미터 값에 대한 기존의 분포를 사전분포라고 칭 하면 새로이 측정된 입력 파라미터의 값을 우도함수(likelihood function)로 나타내 이 사전분포에 적용하는 방법을 통 해 사후분포로, 즉 보다 신뢰도가 높은 새로운 입력 파라미 터의 분포를 얻어낼 수 있는 방안이다. 이를 사전분포의 업 데이팅으로 부른다. 사전분포는 기존의 통념이나 이론적 근 거, 전문가들의 보편적 믿음, 혹은 아주 오래전의 관측결과 의 집적 등을 통하여 어느 정도 통념으로 볼 수 있는 분포로 볼 수 있고 이러한 분포의 형태는 대개 주변의 전문가 집단의 제안이나 문헌을 통해서 얻는 것이 일반적이다. 그러나 새롭 게 측정된 입력 파라미터의 이러한 값들은 수학적으로 완전 한 분포를 얻기에는 그 수나 양이 적을 수밖에 없게 된다. 뿐 만 아니라 그 양이 많다 해도 국지적인 데이터에 여전히 머무 르게 되어 일반성을 획득하기 어려울 수도 있게 된다. 그러 나 이 적거나 국지적인 측정값은 가장 최근에 해당 대상 시 스템에 대해 측정되어 새롭고 보다 믿음이 있는 양질의 자료 로 간주될 수 있는 것이다. 다시 이 양질의 자료는 이제 그 활 용을 위해 다양한 방법으로 우도함수(likelihood function)로 구현이 되어야 한다. 이러한 우도함수는 그 자체로는 정규화 (normalization)를 거치기 전까지는 당장은 확률분포는 아니 지만 이 사전분포에 우도함수를 조합하여 얻어진 사후분포 는 여기에 다시 반복적으로 새로운 실험적 데이터 등 실제 관 측 데이터를 얻으면서 반복적인 업데이팅이 가능하도록 해 줄 수 있다. 이렇게 가능한 한 더 많은 횟수로 새로운 데이터 를 보다 더 커지는 믿음을 가지며 얻을 때마다 연속적인 사후 분포를 얻어내는 방식이 연속 베이지안 업데이팅(sequential Bayesian updating)이다. 새롭게 얻어지는 데이터의 믿음이 더 크기만 하다면 이런 연속 업데이팅을 하므로써 점점 더 믿 음이 큰 사후확률을 순차적으로 얻을 수 있게 된다.

이러한 논의는 일반적인 형태의 베이스 추론(Bayesian inference)에 근거하여 (1)식과 같이 나타낼 수 있다. 이 식 은 새롭게 측정된 정보를 통해 이전의 사전분포를 업데이 트 하여 사후확률 분포, 즉 사후분포로 계산하는 수학적인 근거가 된다.

아래 (1)식에서 보이는 대로 어떤 모델에 요구되는 입력 파라미터의 벡터를 θ = {θ₁, θ₂, …, θ_k}로 나타내기로 하자. 이들 각 요소는 예로서 처분 시스템에 대한 안전성 평가 모델 의 경우라면 가령 지하수의 유속이나 핵종의 이동거리 혹은 핵종의 지하매질에서의 흡착계수 같은 파라미터가 된다. 이 들 입력 파라미터 즉 파라미터들은 문헌이나 과거의 자료로 부터 일반적으로 알려진 재래의 확률분포로서 확률밀도함수 의 형태로 흔히 존재한다. 사전분포로서의 이들은 테이블 상 의 값들 보다는 보통 해석적 통계적 형태로 갖게 되는 것이 보편적이다. 가령 처분장 암반 매질의 균열 폭은 어떤 평균 값과 분산을 갖는, 예로서 lognormal 분포를 갖는 경우가 빈 번할 수 있다고 하자. 우리가 확률론적 계산을 하는 경우라 면 부지특성적 측정 결과에서 평균값이나 분산 정도만 보정 한 채 대개 이 분포를 그대로 가져다 쓰게 된다. 그러나 새로 측정한 부지 자료만으로는 이러한 분포를 과연 잘 따르는지 알기 어려울 수 있는데 그러면 저 과거의 믿음을 바탕으로 새 롭게 얻어진 자료를 통합하여 새로운 분포를 얻는다면 보다 더 믿음이 있는 분포가 될 수 있다.

이제 이러한 각 파라미터들 θ 에 대해 낮은 정도의 믿음 을 갖는 것으로 간주하는 분포를 사전분포로서 p(θ)라고 나 타내자.

매 회 측정된 입력 파라미터의 값들을 D = (D₁, …, D_m) 라고 표기하면 이 벡터의 각 요소들은 매 측정 시 실제 관 측된 값들이 되고 이 값들을 통하여 가령 최대우도 결정법 (maximum likelihood estimation)등을 통하여 가장 최적화 된 우도함수를 얻어낼 수 있게 된다. 이를 쉽진 않겠지만 어 떻게든 정규화를 통해 0과 1사이의 값을 갖는 확률분포로 나 타낼 수 있다고 가정하여 L ( D | θ ¯ )로 표기하자. 즉, 이는 어떤 파라미터 θ 에 대하여 관측된 데이터 D를 관찰할 가망성, 즉 likelihood 또는 likelihood function이 된다. 이 함수는 그 표 기에서 의미하는 대로 파라미터가 정의됐을 때 이 파라미터 에 대한 random variable로서의 측정값의 자연적인 변동치 (variability of random values)로서 D를 측정할 가망성으로 전술한 대로 보통 우도로 표현된다. 이제 이러한 우도를 사 전분포에 적용하면 (1)식과 같이 사후분포 p ( θ ¯ | D )로 만들어 줄 수 있게 된다.

(1)식의 3, 4번째 항의 분모에 보이는 p(D)는 D에 대한 한계확률(marginal probability)로서 모든 파라미터를 따로 따로 구분하지 않는 조건에 대하여 가능한 모든 파라미터에 대해 적분을 수행한 결과이다. 그러므로 이는 D에 대한 총 확률이 되어 당연히 이 값을 분모로 하면 두번째 항의 분자를 정규화할 수 있는 값이 된다. 그러나 가능한 모든 파라미터의 적분값이라는 말에서 보여지는 대로 이론적이어서 이 값은 사실상 정량적 평가가 어렵다. 그래서 이 연구에서처럼 보편 적으로 생략하여 쓰는 경우가 많은데 이는 분포 곡선 하의 면 적이 1이 되는 확률분포의 속성은 갖지 못하지만 최고치 값 의 위치 등 분포의 형태는 잃지 않고 유지하기 때문이다. 피 크가 어디에 위치하는지 등 일반적인 분포의 형태가 중요하 지 당장 확률분포의 속성을 반드시 유지할 필요는 없다는 의 미이다. 구하기 어려운 정규화 상수로서의 p(D)를 이렇게 포 기한다 해도 수치적으로 정규화하여 어떻게든 pdf로 만들 수 가 있기 때문에 실제 사용에는 문제가 되지 않는다.

이러한 경우라면 (1)식의 등호는 (2)식에서 보는 대로 등 호 대신 비례관계로 바꿀 수 있게 된다.

한편 모두 m개의 유한한 관측치를 얻은 경우에 대해, 즉 D = (D₁, …, D_m)에 대해 우도함수는 (3)식과 같이 표현될 수 있게 된다.

(2)식은 보이는 그대로 사후확률은 사전확률과 우도함수 의 곱에 비례하는 것으로 나타낼 수 있는데 이 식에서는 한계 확률 p(D)가 제외된 것을 알 수 있다.

이 식은 바로 사후분포는 사전분포로서 제공되는 정보 와 함께 새로이 측정된 입력자료 값, 즉 증거의 곱으로 이뤄 지는 것으로 나타나 이 연구의 근거를 제공할 수 있게 된다.

이제 (2)식을 일반화하여 (4)식으로 나타낼 수 있다. 측 정되는 데이터가 D₁, …, D_n,… 와 같이 차례로 얻어지는 경 우를 생각해보면, D_n이 얻어지면 입력 파라미터θ 는 (2)식에 근거하여 (4)식과 같이 업데이트 될 수 있다. 그런데 이렇게 얻어진 사후분포는 다시 (5)식에서 처럼 다음 업데이팅에서 새로운 우도함수에 대하여 사전분포로 사용될 수 있게 된다. 이러한 반복적인(recursive) 업데이팅을 통하여 더욱 파라미 터 분포의 신뢰도를 높여갈 수 있게 된다.

그런데 (5)식 마저도 실제적으로 이용하는 것은 쉽지 않 다. 이는 해석적으로 늘 사후확률을 얻기는 어렵기 때문이 다. 이런 이유로 수치적으로 (5)식에서 사후확률을 구하는 방법을 강구하여야 한다. 뿐만 아니라 일반적인 사전확률과 다르게 업데이팅을 통해 얻어지는 사후확률은 단순하지 않 고 복잡한 모양을 갖는 것이 일반적이어서 확률론적 평가를 수행할 때 이로부터 샘플링을 통한 몬테 칼로 계산을 수행하 는 일도 그리 쉽지는 않게 된다. (5)식에 대한 수치적 평가 를 위하여 많이 이용되는 알고리듬이 마코프 체인 몬테 칼 로 (MCMC: Markov Chain Monte Carlo) 방식이다. 이 연구 를 통해서도 이 알고리듬을 이용하여 바로 사후확률을 구해 내는 GoldSim 모듈을 개발하였다. 이 방식은 해석적 형태의 분포를 갖지 못하는 사후확률분포를 마코프 체인과 몬테 칼 로 기법을 통하여 안정화된(stationary) 분포 p ( θ ¯ | D )를 얻어 내고 [예, 12] 이 분포에서 바로 입력 파라미터의 값을 샘플링 하여 확률론적 평가를 가능하게 해준다. [예, 13]

결국 이러한 MCMC 알고리듬을 이용한 확률론적 평가의 기법은 몬테 칼로 무작위 샘플링을 통한 분포의 구현과 이 분포로부터 파라미터값의 몬테 칼로 샘플링을 통한 확률론 적평가를 수행하는 구조로 된다. 이를 GoldSim 모듈로 구현 하는 것은 전체적으로 몬테 칼로에 중층으로 내재된(nested) 또 하나의 몬테 칼로 샘플링을 수행할 수 있도록 안정된 모 듈을 구현하는 것으로 된다.

MCMC를 위해서도 여러가지 알고리듬이 제안되고 있는 데 이 중 Hastings-Metropolis (M-H) 알고리듬이 가장 빈번 히 이용되어지는 일반적인 방법이다. 이 연구에서도 이 알고 리듬을 활용하였는데, 그 목표는 얻고자 하는 분포를 수치적 으로 거의 똑같게 얻어 내고자 하는 것으로 이에 대한 상세한 수학적 근거를 이 논문에서 따로 다룰 필요도 없지만 이러한 목적을 이룰 수 있다는 것은 이미 수학적으로 증명이 되어있 다 하여 이 논문에서는 따로 인용이나 논의없이 사용하였다. MCMC는 샘플링 방법론이고 마코프 체인과 몬테 칼로라는 두가지 수학적 특성에 기반한다는 의미이지 사실 특정한 알 고리듬은 아닌데 이 MCMC를 통하면 이전의 샘플이 다음 샘 플링에 이득을 주게 된다. 즉 i번째 얻은 샘플이 다음 i+1번 째 샘플링에 영향을 주며 넓은 영역에서 효율적, 선별적으로 샘플링이 이루어질 수 있게 해주는 것이다. 이렇게 이 샘플 의 수가 그리 많지 않을지라도 단지 바로 전 샘플 만을 참조 하여 이미 얻고자 하는 확률 분포, 즉 사후확률분포의 모양을 거의 정확히 모방한다는 점이 MCMC 방법의 장점으로 알려 져 있다. 이는 몬테 칼로 샘플링 방법에서 마코프 체인의 특 성을 이용하는 것으로 이 체인의 특성에 따라 충분한 횟수로 각 상태 사이의 이동이 이루어지는 경우, 이러한 이동의 흔 적이 MCMC의 샘플링 결과가 되는데, 이 때 일정한 값으로 수렴되는 방문횟수의 비율이 특정 확률분포로 수렴하게 되 기 때문이다. 이렇게 얻어지는 분포는 대표성을 잘 유지하며 안정화된 것으로 간주 될 수 있게 된다.

Fig. 2에서 보는 대로 이 알고리듬을 이용하기 위해서 는 제안분포(proposal distribution)라는 것이 필요하다. 이 는 그림에서 보는 대로 θ^*를 얻어내기 위해 필요한데 다소 임 의의 pdf 분포이긴 하지만 p p r ( θ * | θ ) = p p r ( θ | θ * )로 표현할 수 있도록 대칭분포 조건을 만족하는 것이어야 한다. 보통 중앙 값이 θ^*인 가우스분포(Gaussian distribution)를 사용하는 이 유가 된다. 이러한 형태의 분포를 통해 θ^*근처의 그 다음 샘 플 포인트가 무작위 샘플링으로 방문되었을 때 다른 포인트 보다 높은 확률로 선택될 수 있게 된다.

Fig. 2

M-H algorithm.

이 알고리듬을 따라 파라미터 θ에 대한 샘플의 초기 추 측값 θ⁽⁰⁾를 정해주면 새로운 후보 파라미터값 θ^*이 시간 t (i 번째)에서 p p r ( θ * | θ ) 제안분포로부터 얻어지고 이러한 루틴이 반복되며 새로운 사후분포를 얻을 수 있게 된다. 알고리즘에 서, 임의의 초기 샘플로서 θ의 시작 값을 0으로 선택하면 새 로운 후보 파라미터 값 θ^*이 제안 분포로부터 얻어진다. 그 러면 이 임의의 샘플 포인트 0으로서 시간 t에서 제안 분포 p p r ( θ * | θ )로부터 생성된다. 이러한 샘플에 대해 (6)식의 수용 확률(acceptance probability)을 통해 그 수락여부를 결정하 게 되는데 (6)식의 α는 0≤α≤1의 기준이어야 하고 이때 유 니폼 분포 Uniform [0,1]에서 생성된 난수 값보다 크기만 하 면 수락된다. 그러면 Fig. 1에서 보는 대로 다음 단계 t+1에 서 θ^*값은 θ_i+1 = θ^*로 θ_i+1을 대치시키고 그렇지 않은 경우에 는 θ_i+1가 대치되지 않고 θ_i+1 = θ_i로 유지된다. 한편 이러한 샘 플링이 진행되고 나면 초기에 불안정한 샘플 부분인 번인 (burn-in)은 잘라버려 후반으로 갈수록 안정화된 값들만을 취하여 사용하게 된다.

이 알고리듬은 뒤에 다시 논의될, Fig. 3과 같은 GoldSim 모듈로서 구현된다.

Fig. 3

Module for Metropolis-Hastings algorithm.

3. GoldSim Bayesian 모듈 개발 및 이행

베이지안 업데이팅 모듈은 Fig. 4에 보인 순서도와 같 이 개발되었다. 이를 토대로 Fig. 5에서와 같이 안전성평가 프로그램 GSTSPA GoldSim 템플릿 프로그램에 Stochastic_ Input이라는 새로운 모듈로서 이행되었다. 이 모듈은 GSTSPA와 거의 독립적으로 기존의 사전분포 입력자료를 사후 분포로 업데이팅하여 새로운 사후분포를 만들어낸다. 이 새 로운 분포로부터 몬테 칼로 기법을 통하여 입력 파라미터 값 들을 샘플링하여 GSTSPA가 확률론적 계산을 수행할 수 있 도록 해준다.

Fig. 4

Probabilistic safety assessment procedure with MCMC algorithm.

Fig. 5

Banner page module of GSTSPA program.

선정된 파라미터에 대한 사전분포 및 사후분포의 연속 베이지안 업데이팅을 위한 입력은 독립적으로 개발된 Stochastic_ Input에서 이루어진다. 이 컨테이너에서는 Fig. 6에 서 보이는 대로 수리 전도도, K (HydraulicConductivity), 균 열과 MWCF의 길이로 표현되는 핵종의 이동 거리, L (HostRock_ FractureLength/Farfield_MWCFLength) 그리고 균열 과 MWCF 두 매질 내 균열의 틈새 폭, b (Fracture_Width/ MWCF_Aperture_Width) 등 4개의 암반 내 핵종 이동 관련 파라미터를 다룬다. 이들 4개의 파라미터의 분포에 대한 베 이지안 업데이팅 모듈과 함께 비정상 시나리오로서 지진이 발생하는 경우 지진의 발생 빈도 분포 관련 파라미터에 대 한 업데이팅 모듈과 함께 모두 5개의 컨테이너로 준비되어 있는 것을 그림으로부터 알 수 있다. 이 연구를 통하여 개발 된 이 모듈 안에 안전성 평가에 요구되는 모든 파라미터에 대한 업데이팅을 미리 준비할 필요는 없으며 이와 같이 선 별된 파라미터에 대해서만으로 수정 확장이 용이하도록 개 발 되어 있다.

Fig. 6

Stochastic_Inputs container with all Bayesian inputs.

이들 예시로서 선별된 총 5개의 파라미터의 업데이트를 다루는 각각의 컨테이너와 동일한 수준의 Inputs 컨테이너 에는 M-H알고리듬에 필요한 파라미터들이 준비된다. 즉 Fig. 2에서 보이는 것처럼 파라미터 θ값을 얻어내기 위한 충분한 수로서 가령 2000개의 iteration 루프의 개수와 이로부터 일 련의 사후분포를 얻기 위해 필요한 θ값의 개수로 예로서 분 포 형성에 충분하다고 판단되는 1000개를 정의 해둔다. 물 론 이 숫자는 목적과 필요에 따라 증감이 가능하다.

5개의 파라미터에 대해 사후분포를 얻기 위한 각각의 컨 테이너에는 미리 준비된 사전분포와 3개의 우도함수분포 함 수도 준비되어 있는 것을 Fig. 8을 통해 볼 수 있다. 그 외에 제안 분포(proposal distribution)도 보이는데 Fig. 2의 M-H 알고리듬 각각의 루프가 돌 때마다 이 분포로부터 θ값을 샘 플링하고 acceptance criteria 조건에 따라 취사선택하여 사 후분포를 형성할 수 있게 된다.

Fig. 7

Contents of Stochastic_Inputs/HostRock_FractureLength.

Fig. 8

Inputs of the prior distribution and three likelihoods for sequential update of each model input parameter.

실제 M-H 알고리듬은 Fig. 7에 보이는 서브컨테이너 Posterior 1, Posterior 2, Posterior 3에 들어있게 된다. 이 들 각각의 컨테이너의 알고리듬은 서로 모두 동일하지만 각각 다른 사전 및 사후분포를 사용하게 되는 점이 다른데, Posterior 1 컨테이너에서는 해당 입력 파라미터에 대한 Posterior 1이라는 새로운 사후분포가 입력해준 사전분포와 우도함수 로부터 생성된다. Posterior 2 컨테이너에서는 Posterior 1과 기능은 같으나 입력해준 사전분포가 아닌 Poserior 1컨테이 너에서 생성된 사후분포를 이 업데이팅 단계에서의 사전분 포로서 사용하게 된다. 물론 이 단계에 사용되는 우도함수는 새롭게 관측되어 마련된 것을 사용한다. 마찬가지로 이 컨테 이너에서 결과적으로 생성된 두번째 사후분포는 Posterior 3 컨테이너를 통하여 새로운 사전분포로서 이용되어 다시 새 롭게 마련된 우도함수를 통하여 세번째 사후분포를 생성시 키는데 사용된다. 이같은 무한 반복적 업데이팅은 새로운 데이터가 측정되어 우도함수가 마련되면 반복적으로 시행 되어 보다 신뢰도 있는 파라미터 사후분포를 얻을 수 있도 록 해준다.

Fig. 9에 보이는 GoldSim 모듈로 구현된 M-H 알고리듬 은 Fig. 7의 Posterior 1, 2, 3 각각의 컨테이너에 하나씩 들 어가게 되는데 여기에 보이는 MetripolisHastings라는 루핑 (looping) 컨테이너에 전술한 Fig. 3의 모듈이 들어가 있다. 이 루핑 컨테이너에서 생성된 값들은 벡터로서 외부 엑셀 (Excel) 화일로 저장되고 또 별도로 도표를 그릴 수 있도록 따로 준비되고 동시에 Fig. 9에 함께 보이는 GenerationDistribution으로 전달되어 여기에서 비로소 분포의 형태가 형 성되어진다. 즉 이 SumModel에서 우리가 원하는 사후분포 가 만들어지는 것이다.

Fig. 9

M-H algorithm implemented using a conditional looping container.

4. 예시

개발된 모듈의 유용성을 확인하기 위하여 가상의 처분 시스템을 대상으로 천연방벽 내 핵종 이동에 영향을 줄 수 있는 물리적 파라미터를 선별하여 확률론적 안전성 평가를 수행하였다. 이를 위해 Fig. 6에서 3개의 파라미터만을 가려 내어 각각의 파라미터에 대한 사전분포에 대하여 3차례의 연 속 베이지안 업데이팅을 수행하였다. 선별된 파라미터들은 Table 1에 보였다. 보다 상세하고 더 많은 예시의 결과는 최 근의 연구에서 따로 볼 수 있다.[14]

Table 1

Prior distributions selected for three parameters

이들 파라미터는 일반적인 분포가 Table 1에서 보이는 대로 사전분포로서 이미 존재하여 이를 통하여 확률론적 평 가를 충분히 수행할 수 있으나 이 연구를 통해서는 이러한 사전분포의 믿음이 모두 그리 크지 않다고 간주하였다. 이는 우리나라 지역 특성상 부지 특성 분포가 필요할 것이며 이러 한 일반적인 분포가 그리 큰 믿음을 가지고 대체하지는 못한 다는 가정에 기인한다. 예시를 위해서 고려하는 가상 처분 장에 대하여 실제 측정된 자료가 양적으로 그리 충분하지는 않지만 가장 최신의 자료로서 Table 2에 보이는 우도함수로 잘 나타낼 수 있다고 가정하였다. 베이지안 업데이팅을 위해 측정된 자료들은 이렇게 우도함수로 나타내 사용하여야 하 는데 이러한 우도함수들은 전술한대로 측정된 소량의 자료 를 가지고 가능한 한 대표성을 갖도록 가장 적절하게 나타내 줄 수 있어야 한다. 우도함수는 물론 반드시 사전함수의 형 태를 따를 이유는 없다. 예로서 최대 우도 추정법(maximum likelihood estimation) 등을 이용하여 주어진 샘플에 대해 우도, 즉 어떤 일이 발생할 가능성(likelihood)를 가장 크게 해줄 수 있는 모수를 찾도록 해야 한다. 다만 이 연구에서는 어떻게든 이 3개의 파라미터에 대해 매 새로운 측정이 이루 어졌으며 이로부터 새로운 우도함수가 만족스럽게 구해진다 고 가정하였다.

Table 2

Three likelihood distributions assumed for illustration

전술하였듯 일반적으로 처분장 주변 천연 암반 내 핵종 의 이동은 매질 내 네트워크를 이루는 균열 대를 통하여 흐르 는 지하수의 유동에 따라 이류 및 분산적으로 이동하는 것으 로 모델링 된다. 이러한 이동은 Fig. 1에 보인 대로 MWCF를 만나 생태계로 보다 더 빨리 전달되는 것으로 고려하는 것이 보편적 핵종 이동 시나리오로 간주된다.

지하수의 유동은 네트워크 내 수력학적 전도도가 보다 더 큰 균열을 따라 보다 선별적으로 일어나게 된다고 가정 하면 이러한 유동과 이에 따른 핵종의 이동은 균열 네트워크 를 지나는 동안 1차원적 균열을 통하여 진행하는 것으로 보 아 상응하는 수력학적 전도도를 갖는 단일 균열로 단순화하 여 모델링하는 것이 가능하다. 지하수 유동에 관련된 균열의 물성은 Table 2에서 보이는 대로 핵종의 이동 거리를 의미 하는 균열의 총 길이 L, 균열의 크기를 가늠하는 균열 폭 b, 그리고 균열 내 지하수의 유동의 정도를 결정하는 수력학적 전도도 K, 이렇게 3가지 파라미터에 주로 지배를 받게 된다. 이제까지는 이 들 파라미터의 분포로서 Table 1의 사전분포 를 가지고 확률론적 평가를 주로 해왔었다. 파라미터의 값 의 불확실성을 정량적으로 평가할 수 있는 거의 유일했던 이 러한 평가는 분포로부터 다수의 샘플링을 통하여 몬테 칼로 방식을 이용하는 방법이다. 이 연구에서 제안하는 베이지안 업데이팅에서도 이러한 몬테 칼로 샘플링을 통한 평가가 이 루어진다는 방법론 측면에서는 동일하다. 다만 사전분포만 으로 평가하는 것이 아닌 사전분포를 기반으로 새롭게 측정 자료가 얻어지면서 사후분포로 업데이트 되는 분포를 이용 하는 것만이 다를 뿐이다. 이 연구를 통해서는 세번의 사후분 포의 업데이팅이 가능하다는 가정으로 평가를 예시하였다.

예시를 위해 사용된 PWR과 CANDU 등 사용후핵연료의 재고량 등 대부분의 입력 자료는 이전의 연구나 최근의 연구 에서와 동일하게 사용되었다.[예, 4]. 다만 Table 3에 처분장 관련한 물리적 자료들을 예시를 위한 가상된 값으로서 따로 명시해 두었다.

Table 3

Data used for illustration

M-H 루틴에서 모두 2000개의 샘플링을 통하여 각 사후 분포를 얻기 위해 이용 되도록 하여 Fig. 10과 같이 사후분포 값을 구하였다. 이 중 초기 1000개는 버리고(burning-out) 나 머지 안정된 1000개의 샘플만 사후분포로 이용할 수 있도록 하였다. 전술했듯 이는 M-H 루틴을 통한 초기 샘플링이 아 직 안정되어가기 이전에 사후분포를 구성하기에 적절치 않 은 샘플링이 이루어질 수 있기 때문이다. 즉 샘플의 절반 정 도이면 충분히 안정화 단계에 도달한 것으로 간주하였다.

Fig. 10

Realizations of (a) hydraulic conductivity (m·s^-1), (b) fracture length (m), (c) fracture width (m) from each sequential Bayesian updated distribution.

구해진 3개의 사후분포를 Fig. 11에 pdf와 CDF로서 보였다. 이들 pdf를 보면 매우 날카로운 선(spikiness)이 나타나는 것을 볼 수 있는데 이는 피할 수 없는 수치 샘플링 에 기인하기 때문이다. 그러나 그림에서 보이는 대로 CDF 에서 매끈한 형태로 표현되어 이로부터 몬테 칼로 샘플링 을 하는데 문제가 없다는 것을 알 수 있다. 또 그림에서 보 는대로 이들 계산된 사후분포들은 사전분포의 형태와 거의 닮지 않는 형태로 나타나는 것도 알 수 있어서 전술한 대로 사전분포를 우도함수를 통하여 사후분포로 업데이팅하는 것 이 상당히 어려운 작업임을 짐작할 수 있다.

Fig. 11

(a) The first-, (b) second-, and (c) third posterior distribution in pdf (upper) and CDF (lower), for the fracture length calculated with each corresponding prior and likelihood distribution by M-H algorithm.

이렇게 구해진 사후분포를 이용하여 연속적인 베이지안 업데이팅을 수행하고 여기서 얻어지는 사후분포를 통하여 확률론적 안전성 평가를 수행하여 그 결과를 시간에 따라 생 태계 내 피폭 집단이 연간 받는 피폭선량으로서 Fig. 12에 나 타내었다. 이 결과는 3개의 입력 파라미터 K, L, b에 대하여 각각 라틴 하이퍼큐브 샘플링(Latin Hypercube sampling) 방법으로 100개씩 샘플링을 하여 얻은 것이다. 이 그림에서 는 최초의 사전분포를 통한 확률론적 계산 결과도 나머지 3개의 사후분포로부터의 확률론적 계산 결과와 비교하여 보 여주고 있는데 가령 사전분포를 통한 결과는 3번째 사후분포 를 통해 얻은 결과와 상당히 다른 커브 군 밴드의 넓이를 가 질 뿐만 아니라 보다 더 큰 보수성도 갖는 것으로 나타나는 것을 알 수 있다. 이 결과만으로 해석한다면 새로운, 보다 정 확한 측정 자료를 통하여 분포가 보다 더 믿음을 주도록 업 데이팅 되면서 거의 3개의 오더(order of magnitude)의 커다 란 차이를 주는 결과를 초래한다는 의미가 된다.

Fig. 12

Total exposure dose rates (mSv/y) for prior and three updated posterior distributions, probabilistically calculated and compared to each other.

상이한 반감기와 지화학적 특정한 핵종에 대하여 이러한 결과를 좀 더 상세히 검토해보기 위하여 우선 Fig. 13과 같이 Table 3과 4에서 주어진 단일 파라미터값을 사용하여 결정 론적 계산을 수행하고 이 결과로부터 피크에 주로 기여하는 ⁷⁹Se, ¹³⁵Cs 그리고 ²²⁶Ra 이렇게 세 핵종을 선별하였다. 그런 다음 이 세 핵종을 대상으로 3개의 입력 파라미터 분포에 대 한 연속적 베이지안 업데이팅을 통하여 확률론적 계산을 수 행한 결과를 Fig. 14에 보였다.

Fig. 13

Exposure dose rate to farming exposure group calculated with deterministic parameter values in Table 1.

Fig. 14

Exposure dose rates (mSv/y) due to ⁷⁹Se, ¹³⁵Cs, and ²²⁶Ra, probabilistically calculated for each prior and each of three updated posterior distributions and compared.

Table 4

Selected nuclides with geochemical data used for illustration

그림에서 보면 ⁷⁹Se의 경우처럼 상대적으로 짧은 반감기 와 낮은 분배계수로 암반균열을 따라 더딘 이동을 하는 경우 에 비해 ¹³⁵Cs의 경우는 상당히 긴 반감기 뿐 아니라 상대적 으로 높은 지연계수를 갖게 되어 분포의 형태에 대한 영향을 더 받아 베이지안 업데이팅이 진행되며 생성되는 사후분포 에 따라 보다 더 큰 확률론적 결과를 보여주는 것으로 나타 나고 있는 것을 알 수 있다. ²²⁶Ra의 경우에는 ⁷⁹Se에 비해 분 배계수는 비슷하나 반감기가 짧음에도 불구하고 ⁷⁹Se보다 더 넓은 분포의 변화를 보여주는 것도 알 수 있는데 이는 다른 두 핵종들과 다르게 ²⁴⁶Cm → ²⁴²Pu → ²³⁸U → ²³⁴U → ²³⁰Th → ²²⁶Ra의 방사성 붕괴사슬에 관여되어 Table 4에 보이듯 비교 적 대체로 분배계수의 값도 크고 반감기가 긴 모핵종들의 붕 괴에 따른 결과가 혼재되어 함께 나타나기 때문이다.

Fig. 12의 결과를 CCDF로 나타낸 Fig. 15에서 본다면 사 전분포를 통해 계산된 결과가 최악의 경우에 거의 100 mSv/ yr의 피폭을 준다고 할 때 보다 더 믿음을 갖는 분포로서 3번 째 사후분포를 통해 얻은 결과로는 K, L, b 이들 3개의 파라 미터의 값들을 어떤 것으로 취하든 절대로 피폭이 0.1 mSv/ yr를 넘을 수 없다는 결과를 알 수 있다. 이 그림만으로 보다 더 믿음을 주는 분포로부터 얻은 결과가 항상 더 낙관적이라 는 의미는 물론 아니고 실제 우도함수에 따라 이러한 결과와 반대의 결과도 가능할 수 있지만 중요한 것은 베이지안 업데 이팅을 통하여 보다 더 믿을 수 있는 결과를 얻을 수 있다는 것이 중요하다.

Fig. 15

Total dose rates due to prior, posterior1, posterior2, and posterior3, expressed as CCDFs.

5. 맺는 말

이 연구를 통하여 기존의 확률론적 안전성 평가 방법을 개선하여 기존의 확률론적 안전성 평가의 믿음을 높일 수 있 도록 사전분포의 연속적 베이지안 업데이팅 방법론을 제안 하였다. 제안된 방법론은 GoldSim으로 개발된 방사성폐기 물 처분장 안전성 평가 프로그램으로 이행되었다. 일반적인 분포에 새롭게 측정한 보다 더 신뢰도 있는 데이터를 합리적 으로 결합하여 보다 더 신뢰성이 높은 새로운 입력 파라미터 값의 분포를 얻을 수 있도록 하는 이러한 방법은 수치 모델링 을 통하여 GoldSim 템플릿 안전성 평가 프로그램에 추가함 으로써 재래의 분포의 형태는 여전히 취하면서도 새롭게 얻 어지는 실제 측정치나 전문가들의 의견에 따른 우도함수를 이 분포에 적용하여 보다 더 높은 믿음, 즉 신뢰성을 갖는 입 력 파라미터의 분포를 얻을 수 있도록 한다. 신뢰성이 높고 새로운 사후분포를 연속적으로 이용함으로써 보다 더 신뢰 있는 확률론적 처분장 안전성평가가 가능해졌다.

개발된 모듈의 유용성을 확인하기 위하여 가상의 처분 시스템을 대상으로 천연방벽 내 핵종 이동에 영향을 줄 수 있 는 3개의 물리적 파라미터로서 수력학적전도도, 균열의 길이 로서 표현되는 핵종의 이동거리, 그리고 천연방벽 내 암반매 질의 균열의 폭을 선별하여 가상 처분장에 대한 확률론적 안 전성 평가를 수행하여 제시된 방법론과 안전성 평가 프로그 램의 유용성을 확인할 수 있었다.