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ISSN : 1738-1894(Print)
ISSN : 2288-5471(Online)
Journal of Nuclear Fuel Cycle and Waste Technology Vol.16 No.2 pp.211-221
DOI : https://doi.org/10.7733/jnfcwt.2018.16.2.211

Nodal Transport Methods Using the Simplified Even-Parity Neutron Transport Equation

Taewan Noh
Hongik University, 94, Wausan-ro, Mapo-gu, Seoul, Republic of Korea
Corresponding Author. Taewan Noh, Hongik University, E-mail: twnoh@hongik.ac.kr, Tel: +82-2-320-1628
April 12, 2018 May 28, 2018 June 19, 2018

Abstract


Nodal transport methods are proposed for solving the simplified even-parity neutron transport (SEP) equation. These new methods are attributed to the success of existing nodal diffusion methods such as the Polynomial Expansion Nodal and the Analytic Function Expansion Nodal Methods, which are known to be very effective for solving the neutron diffusion equation. Numerical results show that the simplified even-parity transport equation is a valid approximation to the transport equation and that the two nodal methods developed in this study also work for the SEP transport equation, without conflict. Since accuracy of methods is easily increased by adding node unknowns, the proposed methods will be effective for coarse mesh calculation and this will also lead to computation efficiency.



단순 우성 중성자 수송방정식을 이용한 노달 수송해법

노 태완
홍익대학교, 서울특별시 마포구 와우산로 94

초록


중성자 확산방정식에 대해 개발된 노달 확산이론을 단순 우성 중성자 수송방정식에 적용할 수 있는 노달 수송이론을 제시한 다. 노달이론으로 다항식전개 노달법과 해석함수전개 노달법을 채택하였고 단순 우성 수송방정식은 수송방정식에 대한 합 리적 근사이며 기존의 노달해법이 방향 차분된 단순 우성 수송방정식에 정확히 적용될 수 있음을 수치적으로 확인하였다. 본 연구에서는 방법론 개발이 목적이므로 노드 당 최소한의 미지수를 정의하여 사용했지만 미지수를 추가함으로써 정확도 를 증가시킬 수 있음은 기존의 노달 확산이론의 경우와 같다. 즉 중성자 수송방정식에 대해 노달이론을 적용하여 소격격자 에 대해 계산 정확성이 확보되고 이는 결국 계산 효율성 증대로 나타난다.



    © Korean Radioactive Waste Society. All rights reserved.

    This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

    1 서론

    중성자는 매질 내에서 흡수, 산란 등의 과정을 거치게 되 고 이들 중 일부가 핵연료 물질과 반응하여 에너지를 생산하 고 이 과정에서 새로운 중성자가 발생하여 연쇄반응이 가능해 진다. 원자력 에너지는 근본적으로 중성자에 의한 핵분열에 기인하므로 원자로 내의 중성자속을 정확히 계산하는 일은 원 자로 설계 및 운영의 기본이 되는 중요한 과정이다. 따라서 중 성자속을 정확히 계산하는 방법론에 대한 연구가 원자력 연구 개발 초기 단계부터 추진되었다. 매질 내에서의 중성자 거동 은 위치, 방향, 에너지 및 시간의 함수로 1계 편미분 방정식인 중성자 수송방정식(neutron transport equation)으로 기술된 다. 수송방정식은 방향 변수 처리의 복잡성으로 인해 제한된 용도로 사용되어 왔으며 전체 노심계산 등에는 이의 근사식으 로 방향 변수를 제거한 중성자 확산방정식(neutron diffusion equation)이 사용되었다[1,2]. 국내에서도 중성자 확산방정식 에 대한 해법은 일찍부터 한국원자력연구원과 대학의 원자력 관련학과의 지속적인 노력으로 고유의 노달확산이론이 개발 되었고 국제적으로도 양질의 논문을 발표하고 있다. 중성자속 계산 방법론에 대한 충분한 이해는 정밀한 핵특성 및 방사선 원항 데이터베이스와 함께 원자로 운전이력 모델링을 통한 사 용후핵연료의 조성 예측 외에도 독성 및 부피 저감, 핵물질 임 계, 차폐, 보관, 운송, 재사용 등과 관련하여 방사성폐기물의 안전한 관리와 처분을 위해 필요할 것이다.

    과거 노심 설계 및 해석에 흔히 사용되어온 유한차분법 은 중성자의 평균자유행정에 해당하는 미세격자로 노심을 나 누어야 하므로 미지수의 수가 과다하고 이에 따라 긴 계산시 간이 요구된다. 노달이론은 유한차분법의 결함을 극복하기 위해 개발된 방법으로 노심을 핵연료집합체크기의 소격격자 (coarse mesh)로 나누어 계산하여 계산속도가 빠르면서 정 확도면에서도 미세격자 유한차분법에 버금가는 특성을 갖 는다[3]. 해석함수전개 노달법(analytic function expansion nodal method: AFEN)은 기존 노달이론의 횡방향적분의 단 점을 극복하고자 제안된 방법이다. 이 방법은 중성자 확산방 정식의 중성자속을 다차원 해석함수로 근사하기 때문에 사각 형 노심 뿐 아니라 육각형 노심에서도 적용성이 뛰어나며 또 한 봉출력 재구성이 쉽고 정확도에서도 뛰어나다는 장점이 있다. 그러나 이 방법은 에너지군에 대해 분리되지 않은 해 석함수를 사용하기 때문에 계산 속도가 상대적으로 느리다는 단점을 갖는다[4,5]. 다항식전개 노달법(polynomial expansion nodal method; PEN)은 AFEN의 단점을 극복하기 위해 개발된 방법이다. 이는 노드 내 중성자속 분포를 모든 에너 지 군에 대해 분리되는 다항식으로 근사하여 계산 효율성을 증가시켰으며 에너지그룹수의 증가에도 영향을 받지 않는다. 그러나 다항식의 항수를 해석함수의 항수와 동일하게 할 경 우 계산의 정확도가 낮기 때문에 이를 보완하기 위한 추가적 인 방법이 필요하다[6].

    정밀한 계산을 위하여 근본적으로 오차를 포함하는 확산 방정식보다 수송방정식을 직접 풀고자 하는 노력이 대두되는 데 이는 컴퓨터 하드웨어의 발달로 대용량, 초고속 계산이 가 능해졌으며 중성자 확산방정식의 해법에 적용되어 효율성이 인정된 노달이론을 수송방정식에 접목할 수 있기 때문이다. 이러한 추세에 맞추어 우성 수송방정식(even-parity transport equation)의 교차미분항을 제거한 근사식으로 단순 우성 수 송방정식(simplified even-parity transport equation: SEP)이 제안되었다. 이 식은 기존의 수송방정식의 단점으로 지목되는 해의 음수성, 광첨두현상(ray effects) 등이 나타나지 않으며, 방향차분법(discrete ordinate method, SN법)을 사용하는 경우 반사경계조건이 1개 방향에 대해서만 주어지고 확산가속법 (diffusion synthetic acceleration: DSA) 적용시 보다 빠른 수 렴속도를 보이는 장점을 가지고 있다. 특히 이는 확산방정식 과 같은 타원형 편미분방정식이므로 방향변수에 대하여 방향 차분법을 사용하는 경우 확산방정식을 위해 개발된 노달법을 용이하게 적용할 수 있을 것으로 예상되었다[7,8]. 본 연구는 국내 고유의 노달확산해법인 PEN과 AFEN을 단순 우성 수송 방정식에 적용하는 노달수송해법을 개발하는 것이다.

    2 중성자 수송방정식

    2.1 1계 수송방정식

    2차원 1계 수송방정식(1’st order transport equation)은

    μ ψ ( x , y , μ , η ) x + η ψ ( x , y , μ , η ) y + σ ( x , y ) ψ ( x , y ) = σ s ( x , y ) ϕ ( x , y ) + Q ( x , y ) 1 _ μ _ 1 , 1 _ η _ 1
    (1)

    이다. 여기서 ψ ( x , y , μ , η ) 는 위치 (x, y) 에서 방향 (μ, η) 를 갖 는 방향중성자속(angular neutron flux)이고, σσs는 거시총 단면적 및 거시산란단면적이며, Q(x, y) 는 고정 중성자원이 다. 식(1)의 우변의 ϕ(x, y) 는 중성자속(scalar neutron flux) 으로 방향중성자속에 의해(2)

    ϕ ( x , y ) = ψ ( x , y , μ , η ) d μ d η
    (2)

    로 정의된다. 식(1)의 수송방정식은 1계 편미분 방정식으로 방향영역 -1≦μ≦1, -1≦η≦1에 대해 방향차분법을 적용하는 경우 위치변수에 대해서는 diamond-differencing (DD)과 같 이 비교적 간단한 차분법을 사용하여 해를 구할 수 있다.

    2.2 우성 방정식(EP)

    우성 수송방정식은 식(1)로부터 쉽게 유도할 수 있다. 먼 저 우성중성자속(even-parity angular flux)과 기성중성자속 (odd-parity angular flux)을 각각(3)(4)

    χ ( μ , η ) = 1 2 [ ψ ( μ , η ) + ψ ( μ , η ) ]
    (3)

    β ( μ , η ) = 1 2 [ ψ ( μ , η ) ψ ( μ , η ) ]
    (4)

    로 정의한다. 식(1)을 (μ, η) 와 (-μ, -η) 방향에 대해 적용하고 두 식을 가감하여 얻어지는 두 개의 식에서 β를 소거하면 우 성 방정식(Even-Parity Equation: EP)

    μ 2 x 1 σ χ x μ η [ x 1 σ χ y + y 1 σ χ x ] η 2 y 1 σ χ y + σ ( x , y ) χ ( x , y , μ , η ) = σ s ( x , y ) ϕ ( x , y ) + Q ( x , y ) , 0 _ μ _ 1 , 1 _ η _ 1
    (5)

    을 얻는다. 식(5)는 어떠한 가정도 없이 1계 수송 방정식으 로부터 유도된 다른 형태의 2계 수송 방정식이다. 종속변 수 χ ( μ , η ) 가 방향에 대해 우함수(even function)이므로 전 체 방향 영역은 1계 수송방정식의 1/2인 0≦μ≦1, -1≦η≦1 이다[7].

    2.3 단순 우성 방정식(SEP)

    식(5)의 우성 수송방정식을 방향 (μ, η) 와 (μ, -η) 에 대해 적용하고 χ ( μ , η ) χ ( μ , η ) 를 가정하여 정리하면 단순 우성 방정식(Simplified Even-Parity Equation: SEP)

    μ 2 x 1 σ χ x η 2 y 1 σ χ y + σ ( x , y ) χ ( x , y , μ , η ) = σ s ( x , y ) ϕ ( x , y ) + Q ( x , y ) , 0 _ μ _ 1 , 1 _ η _ 1
    (6)

    을 얻는다. 방향 영역은 우성 수송방정식에 비해 다시 반으 로 감소하고 교차미분항이 나타나지 않는다. 이는 수송방정 식과 비교하여 해의 양수성, 가속효율성, 제거되거나 극히 감 소된 광첨두현상을 갖는 것으로 나타났다. 특히 노달법 측면 에서 방향차분된 단순 우성 수송방정식의 형태가 확산방정식 과 같은 타원형 편미분방정식이므로 기존의 노달확산 이론을 접목하기에 용이하다[8].

    3 단순 우성 수송방정식에 대한 노달법 적용

    노달법중 국내 고유의 초기 모델인 PEN과 AFEN을 단순 우성 수송방정식에 적용한다.

    3.1 다항식전개 노달법(PEN)

    식(6)의 단순 우성 수송방정식의 방향차분식(SN equation) 은 차분방향 m (1≦mM)에 대해

    μ m 2 x 1 σ χ m x η m 2 y 1 σ χ m y + σ ( x , y ) χ m ( x , y ) = σ s ( x , y ) ϕ ( x , y ) + Q ( x , y )
    (7)

    이고, 중성자속은

    ϕ ( x , y ) = m = 1 M ω m χ m ( x , y )
    (8)

    이다. 다른 형태의 수송방정식에서도 마찬가지지만, 식(7)을 풀기 위해서는 우변의 ϕ ( x , y ) 의 값을 이용하여 χ m ( x , y ) 를 계산하고, 계산된 값으로 식(8)에 의해 ϕ ( x , y ) 를 다시 계산 하는 반복계산을 수행하여야 한다. 식(7)을 σ, σs, Q 가 일정 하도록 나누어진 Fig. 1과 같은 2차원 사각형 노드 (i, j) 에 적 용하면

    μ m 2 σ i , j χ m i , j x 2 η m 2 σ i , j 2 χ m i , j y 2 + σ i , j χ m i , j ( x , y ) = σ s i , j ϕ i , j ( x , y ) + Q i , j
    (9)

    이고, 여기서 중성자속은(10)

    ϕ i , j ( x , y ) = m = 1 M ω m χ m i i , j ( x , y )
    (10)

    이다. 먼저 노드 (i, j) 내의 단순우성중성자속(이하 중성자속) 분포를

    χ m i i , j ( x , y ) = C m 1 i , j + C m 2 i , j x + C m 3 i , j y + C m 4 i , j x 2 + C m 5 i , j y 2
    (11)

    로 가정하자. 식(11)의 전개에서 전체 항수는 노드 내에서 정의되는 미지수의 개수와 일치한다. Fig. 1의 사각형 노드에 대해 1개의 노드평균중성자속

    χ ¯ m i , j = 1 h i h j h j / 2 h j / 2 h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , y ) d x d y
    (12a)

    과 4개의 면평균중성자속

    χ ˜ m L i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d y
    (12b)
    χ ˜ m B i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , h i / 2 ) d x
    (12c)
    χ ˜ m R i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 χ m i , j ( h j / 2 , y ) d y
    (12d)
    χ ˜ m T i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , h j / 2 ) d x
    (12e)

    을 정의한다. 식(11)의 전개식을 식(12)에 대입하면 노드평 균중성자속은(13a)(13b)(13c)(13d)(13e)

    χ ¯ m i , j = 1 h i h j h j / 2 h j / 2 h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , y ) d x d y = 1 h i h j h j / 2 h j / 2 h i / 2 h i / 2 ( C m 1 i , j + C m 2 i , j x + C m 3 i , j y + C m 4 i , j x 2 + C m 5 i , j y 2 ) d x d y = C m 1 i , j + 1 12 h i 2 C m 4 i , j + 1 12 h j 2 C m 5 i , j
    (13a)

    로 나타나고, 면평균중성자속은 각각

    χ ˜ m L i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d y = C m 1 i , j 1 2 h i C m 2 i , j + 1 4 h i 2 C m 4 i , j + 1 12 h j 2 C m 5 i , j
    (13b)

    χ ˜ m B i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , h j / 2 ) d x = C m 1 i , j 1 2 h j C m 3 i , j + 1 12 h i 2 C m 4 i , j + 1 4 h j 2 C m 5 i , j
    (13c)

    χ ˜ m R i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d y = C m 1 i , j + 1 2 h i C m 2 i , j + 1 4 h i 2 C m 4 i , j + 1 12 h j 2 C m 5 i , j
    (13d)

    χ ˜ m T i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d x = C m 1 i , j + 1 2 h j C m 3 i , j + 1 12 h i 2 C m 4 i , j + 1 4 h j 2 C m 5 i , j
    (13e)

    로 나타난다. 식(13)을 행렬로 표시하면(14)

    [ χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m R i , j χ ˜ m T i , j ] = [ 1 0 0 h j 2 / 12 h j 2 / 12 1 h i / 2 0 h i 2 / 4 h i 2 / 12 1 0 h j / 2 h j 2 / 12 h j 2 / 4 1 h i / 2 0 h i 2 / 4 h i 2 / 12 1 0 h j / 2 h j 2 / 12 h j 2 / 4 ] [ C m 1 i , j C m 2 i , j C m 3 i , j C m 4 i , j C m 5 i , j ]
    (14)

    또는

    χ m = A c m C m

    이다. 행렬 Am의 역행렬을 이용하면 전개계수는 또는

    C m = A m 1 χ m

    또는

    [ C m 1 i , j C m 2 i , j C m 3 i , j C m 4 i , j C m 5 i , j ] = [ 2 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 4 0 1 / h i 0 1 / h i 0 0 0 1 / h j 0 1 / h j 6 / h i 2 3 / h i 2 0 3 / h i 2 0 6 / h j 2 0 3 / h j 2 0 3 / h j 2 ] [ χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m R i , j χ ˜ m T i , j ]
    (15)

    이다. 이를 다시 정리하면(16a)(16b)(16c)(16d)(16e)

    C m 1 i , j = 1 4 ( 8 χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m R i , j χ ˜ m T i , j )
    (16a)
    C m 2 i , j = 1 h i ( χ ˜ m L i , j + χ ˜ m R i , j )
    (16b)
    C m 3 i , j = 1 h j ( χ ˜ m B i , j + χ ˜ m T i , j )
    (16c)
    C m 4 = 3 h i 2 ( 2 χ ¯ m i , j + χ ˜ m L i , j + χ ˜ m R i , j )
    (16d)
    C m 5 i , j = 3 h j 2 ( 2 χ ¯ m i , j + χ ˜ m B i , j + χ ˜ m T i , j )
    (16e)

    을 얻는다. 노드의 각 면에서 m 방향의 면평균중성자류를

    J ˜ m L i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 μ m 2 σ ι , j χ m i , j x | x = h i / 2 d y
    (17a)
    J ˜ m B i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 η m 2 σ ι , j χ m i , j y | y = h j / 2 d x
    (17b)

    J ˜ m R i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 μ m 2 σ i , j χ m i , j x | x = h i / 2 d y
    (17c)

    J ˜ m T i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 η m 2 σ i , j χ m i , j y | y = h j / 2 d x
    (17d)

    와 같이 정의하고 식(11)과 식(16)을 이용하여 계산하면

    J ˜ m L i , j = 2 μ m 2 σ i , j h i ( 3 χ ¯ m i , j 2 χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j )
    (18a)
    J ˜ m B i , j = 2 η m 2 σ i , j h j ( 3 χ ¯ m i , j 2 χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j )
    (18b)
    J ˜ m R i , j = 2 μ m 2 σ i , j h i ( 3 χ ¯ m i , j + 2 χ ˜ m R i , j + χ ˜ m L i , j )
    (18c)
    J ˜ m T i , j = 2 η m 2 σ i , j h j ( 3 χ ¯ m i , j + 2 χ ˜ m T i , j + χ ˜ m B i , j )
    (18d)

    로 나타난다. 노드 당 풀어야 할 방정식의 개수는 5개로 이는 식(9)를 노드 체적으로 적분해서 얻어지는 노드평형방정식

    1 h i h j h j / 2 h j / 2 h i / 2 h i / 2 [ μ m 2 σ i , j 2 χ m i , j x 2 η m 2 σ i , j 2 χ m i , j y 2 + σ i , j χ m i , j ( x , y ) ] d x d y = 1 h i h j h j / 2 h j / 2 h i / 2 h i / 2 [ σ s i , j ϕ i , j ( x , y ) + Q i , j ] d x d y

    또는

    1 h i ( J ˜ m L i , j + J ˜ m R i j ) + 1 h j ( J ˜ m B i j + J ˜ m T i j ) + σ i , j χ ¯ m i , j = σ s i j ϕ ¯ i j + Q i j
    (19a)

    과 Fig. 2와 같은 각 노드면에서 면평균중성자속 연속조건

    J ˜ m L i , j - J ˜ m R i 1 , j = 0
    (19b)

    J ˜ m B i , j J ˜ m T i , j 1 = 0
    (19c)

    J ˜ m R i , j J ˜ m L i + 1 , j = 0
    (19d)

    J ˜ m T i , j J ˜ m B i , j + 1 = 0
    (19e)

    이다. 식(19)에 식(18)을 적용하면(20a)(20b)(20c)(20d)(20e)

    6 μ m 2 σ i , j h i 2 ( χ ˜ m L i , j 2 χ ¯ m i , j + χ ˜ m R i , j ) 6 η m 2 σ i , j h j 2 ( χ ˜ m B i , j 2 χ ¯ m i , j + χ ˜ m T i , j ) + σ i j χ ¯ m i , j = σ s i , j ϕ ¯ i , j + Q i , j
    (20a)
    1 σ i , j h i ( 3 χ ¯ m i , j 2 χ ˜ m L i , j + χ ˜ m R i , j ) 1 σ i 1 , j h j ( 3 χ ¯ m i 1 , j 2 χ ˜ m R i 1 , j χ ˜ m L i 1 , j ) = 0 = σ s i , j ϕ ¯ i , j + Q i , j
    (20b)
    1 σ i , j h j ( 3 χ ¯ m i , j 2 χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) 1 σ i , j 1 h j 1 ( 3 χ ¯ m i , j 1 2 χ ˜ m T i , j 1 χ ˜ m B i , j 1 ) = 0
    (20c)
    1 σ i , j h i ( 3 χ ¯ m i , j 2 χ ˜ m R i , j χ ˜ m L i , j ) 1 σ i + 1 , j h i + 1 ( 3 χ ¯ m i + 1 , j 2 χ ˜ m L i + 1 , j χ ˜ m R i + 1 , j ) = 0
    (20d)
    1 σ i , j h j ( 3 χ ¯ m i , j 2 χ ˜ m T i , j χ ˜ m B i , j ) 1 σ i , j + 1 h j + 1 ( 3 χ ¯ m i , j + 1 2 χ ˜ m B i , j + 1 χ ˜ m T i , j + 1 ) = 0
    (20e)

    식(20a)의 노드평형방정식은 1개의 노드평균중성자속 과 4개의 면평균중성자속의 5점 관계로 나타나고, 식(20b)- (20e)의 면평균중성자류 연속조건은 각 방향에 대해 이웃 노 드와의 6점 관계로 나타남을 알 수 있다. 이를 종합하면 식 (20)은 Fig. 3과 같이 13점 관계로 나타나게 된다.

    3.2 해석함수전개 노달법(AFEN)

    이번에는 단순 우성 수송방정식에 대한 AFEN 적용을 설 명한다. PEN에서와 같이 Fig. 1과 같은 사각형 노드에 대한 SN 단순 우성 수송방정식은 식(9)와 같다. (이하 편의상 노드 표기 i, j 를 생략함.) 식(9)는 우변이 0이 아닌 비제차(nonhomogeneous) 방정식이다. 따라서 식(9)의 일반해는 제차해 (homogeneous solution)와 특수해(particular solution)의 합 으로 나타나고, 특수해를 구하기 위해서는 우변의 ϕ ( x , y ) 를 알아야 한다. ϕ ( x , y ) 를 위해 여러 가지 함수를 사용할 수 있 겠지만 여기서는 문제의 단순화를 위해 각각의 반복계산에서 우변의 중성자 생성항을 상수로 취급하는

    σ s ϕ ( x , y ) + Q S ( x , y ) S ¯
    (21)

    의 근사를 사용한다. 식(21)을 이용하면 식(9)는

    μ m 2 σ 2 χ m x 2 η m 2 σ 2 χ m y 2 + σ χ m ( x , y ) = S ¯
    (22)

    로 나타난다. 식(22)에 대응하는 제차 방정식은

    μ m 2 σ 2 χ m h x 2 η m 2 σ 2 2 χ m h y 2 + χ m h ( x , y ) = 0
    (23a)

    이고, 변수분리법을 사용하여 χ m h ( x , y ) = X m ( x ) Y m ( y ) 로 나타내면

    μ m 2 σ X m Y m η m 2 σ 2 X m Y + X m ( x ) Y m ( y ) = 0
    (23b)

    이다. 양변을 Xm Ym으로 나누면(24a)(24b)

    μ m 2 σ 2 X m X m η m 2 σ 2 Y m Y m + 1 = 0
    (24a)

    이다. 따라서

    μ m 2 σ 2 X m X m = α 2 ,    η m 2 σ 2 Y m Y m = β 2
    (24b)

    로 놓으면, 이들의 해는

    α k 2 + β k 2 = 1
    (25)

    을 만족하는 무한개의 고유값 αk, βk (k=1,2,…)에 대해(26a)(26b)

    X m k ( x ) = C 1 cosh ( σ α k x μ m ) + C 2 sinh ( σ α k x μ m )
    (26a)

    Y m k ( x ) = C 3 cosh ( σ β k y η m ) + C 4 sinh ( σ β k y η m )
    (26b)

    이 된다. 즉 식(23)의 해는 식(25)를 만족하는 모든 고유값 에 대해(27)

    χ m h ( x , y ) = k = 1 [ A k cosh ( σ α k x μ m + σ β k y η m ) + B k sinh ( σ α k x μ m + σ β k y η m ) ]
    (27)

    로 나타낼 수 있다. 한편 식(22)의 특수해는 우변을 상수로 가정했으므로

    χ m p ( x , y ) = A 0 ( A 0 는 상수 )

    가 되어, 식(22)의 일반해는

    χ m ( x , y ) = χ m h ( x , y ) + χ m p ( x , y ) = k = 1 [ A k cosh ( σ α k x μ m + σ β k y η m ) + B k sinh ( σ α k x μ m + σ β k y η m ) ] + A 0
    (28)

    가 된다. 식(28)에서 계수 A0, Ak, Bk (k=1,2,…)는 1개 노드에 서 정의되는 미지수의 수에 의해 결정된다. 여기서는 노드 당 5개의 미지수를 정의했으므로 식(25)를 만족하는 αk, βk 두 쌍 이 필요하고 이를 α1=0, β1=1과 α2=1, β2=0으로 취하였다. 이 때 식(28)은

    χ m i , j ( x , y ) = C m 1 i , j + C m 2 i , j cosh ( σ i , j x μ m ) + C m 3 i , j sinh ( σ i , j x μ m ) + C m 4 i , j cosh ( σ i , j y η m ) + C m 5 i , j sinh ( σ i , j y η m )
    (29)

    로 단순해진다. Fig. 1의 사각형 노드에 대해 1개의 노드평균 중성자속과 4개의 면평균중성자속을 식(12)와 동일하게 정 의하고 식(29)의 전개식을 이용하여 계산하면 노드평균중성 자속은

    χ ¯ m i , j = 1 h i h j h j / 2 h j / 2 h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , y ) d x d y = C m 1 i , j + 2 μ m σ i , j h i sinh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 2 i , j + 2 η m σ i , j h j sinh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 4 i , j
    (30a)

    로 나타나고, 면평균중성자속은 각각

    χ ¯ m L i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d y = C m 1 i , j + cosh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 2 i , j sinh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 3 i , j + 2 η m σ i , j h j sinh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 4 i , j
    (30b)

    χ ¯ m B i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( x , h j / 2 ) d x = C m 1 i , j + 2 μ m σ i , j h i sinh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 2 i , j + cosh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 4 i , j sinh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 5 i , j
    (30c)

    χ ˜ m R i , j = 1 h j h j / 2 h j / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d y = C m 1 i , j + cosh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 2 i , j + sinh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 3 i , j + 2 η m σ i , j h j sinh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 4 i , j
    (30d)

    χ ˜ m T i , j = 1 h i h i / 2 h i / 2 χ m i , j ( h i / 2 , y ) d x = C m 1 i , j + 2 μ m σ i , j h i sinh ( σ i , j h i 2 μ m ) C m 2 i , j + cosh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 4 i , j + sinh ( σ i , j h j 2 η m ) C m 5 i , j
    (30e)

    로 나타난다.

    x = σ i , j h i 2 μ m , y = σ i , j h j 2 η m c x = cosh x , c y = cosh y , s x = sinh x , s y = sinh y

    로 놓고 식(30)을 행렬로 표시하면

    χ m = A m C m

    이다. 여기서

    χ m = [ χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m R i , j χ ˜ m T i , j ] , A m [ 1 s x / x 0 s y / y 0 1 c x s x s y / y 0 1 s x / x 0 c y s y 1 c x s x s y / y 0 1 s x / x 0 c y s y ] , C m = [ C m 1 i , j C m 2 i , j C m 3 i , j C m 4 i , j C m 5 i , j ]

    이다. 행렬 Am의 역행렬을 이용하면 전개계수는

    C m = A m 1 χ m

    이 되는데, 여기서

    A m 1 = [ x y c x c y s x s y ( s x x c x ) ( s y y c y ) s x 2 ( s x x c x ) s y 2 ( s y y c y ) s x 2 ( s x x c x ) s y 2 ( s y y c y ) x s x x c x x 2 ( s x x c x ) 0 x 2 ( s x x c x ) 0 0 1 2 s x 0 1 2 s x 0 y s y y c y 0 y 2 ( s y y c y ) 0 y 2 ( s y y c y ) 0 0 1 2 s y 0 1 2 s y ]

    이다. 이를 다시 정리하여(31a)(31b)(31c)(31d)(31e)

    C m 1 i , j = x y c x c y s x s y ( s x x c x ) ( s y y c y ) χ ¯ m i , j + s x 2 ( s x x c x ) ( χ ˜ m L i , j + χ ˜ m R i , j ) + s y 2 ( s y y c y ) ( χ ˜ m B i , j + χ ˜ m T i , j )
    (31a)
    C m 2 i , j = x 2 ( s x x c x ) ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j - χ ˜ m R i , j )
    (31b)
    C m 3 i , j = 1 2 s x ( χ ˜ m R i , j - χ ˜ m L i , j )
    (31c)
    C m 4 i , j = y 2 ( s y y c y ) ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m B i , j - χ ˜ m T i , j )
    (31d)
    C m 5 i , j = y 2 s y ( χ ˜ m T i , j - χ ˜ m B i , j )
    (31e)

    을 구한다. 식(17)과 같이 노드의 각 면에서 m방향의 면평균 중성자류를 정의하고 식(29)와 식(31)을 이용하여 계산하면

    J ˜ m L i , j = μ m 2 [ ( c x s x ) i , j ( χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) + ( x s x s x x c x ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) ]
    (32a)
    J ˜ m B i , j = η m 2 [ ( c y s y ) i , j ( χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) + ( y s y s y y c y ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) ]
    (32b)
    J ˜ m R i , j = μ m 2 [ ( c x s x ) i , j ( χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) ( x s x s x x c x ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) ]
    (32c)
    J ˜ m T i , j = η m 2 [ ( c y s y ) i , j ( χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) ( y s y s y y c y ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) ]
    (32d)

    로 나타난다. 식(32)를 식(19)의 노드평형방정식과 면평균중 성자속 연속조건에 적용하여

    μ m h i ( x s x x c x s x ) i , j ( χ ˜ m L i , j 2 χ ¯ m i , j + χ ˜ m R i , j ) η m h j ( y s y y c y s y ) i , j ( χ ˜ m B i , j 2 χ ¯ m i , j + χ ˜ m T i , j ) + σ i j χ ¯ m i , j = σ s i , j ϕ ¯ i , j + Q i , j
    (33a)
    ( c x s x ) i , j ( χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) + ( x s x s x x c x ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) = ( c x s x ) i 1 , j ( χ ˜ m L i 1 , j χ ˜ m R i 1 , j ) ( x s x s x x c x ) i 1 , j ( 2 χ ¯ m i 1 , j χ ˜ m L i 1 , j χ ˜ m R i 1 , j )
    (33b)
    ( c y s y ) i , j ( χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) + ( y s y s y y c y ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) = ( c y s y ) i , j 1 ( χ ˜ m B i , j 1 χ ˜ m T i , j 1 ) ( y s y s y y c y ) i , j 1 ( 2 χ ¯ m i , j 1 χ ˜ m B i , j 1 χ ˜ m T i , j 1 )
    (33c)
    ( c x s x ) i , j ( χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) + ( x s x s x x c x ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m L i , j χ ˜ m R i , j ) = ( c x s x ) i + 1 , j ( χ ˜ m L i + 1 , j χ ˜ m R i + 1 , j ) + ( x s x s x x c x ) i + 1 , j ( 2 χ ¯ m i + 1 , j χ ˜ m L i + 1 , j χ ˜ m R i + 1 , j )
    (33d)
    ( c y s y ) i , j ( χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) - ( y s y s y y c y ) i , j ( 2 χ ¯ m i , j χ ˜ m B i , j χ ˜ m T i , j ) = ( c y s y ) i , j + 1 ( χ ˜ m B i , j + 1 χ ˜ m T i , j + 1 ) + ( y s y s y y c y ) i , j + 1 ( 2 χ ¯ m i , j + 1 χ ˜ m B i , j + 1 χ ˜ m T i , j + 1 )
    (33e)

    식(33)의 차분방정식 또한 PEN과 마찬가지로 Fig. 3과 같 은 13점 관계식으로 나타난다.

    4 수치계산 및 결과

    먼저 1계 수송방정식, 이의 근사인 단순 우성 수송방정식 과 확산방정식의 수치해를 구하는 전산프로그램을 작성하였 고 이를 이용하여 Fig. 4의 문제에 대해 계산을 수행하였다. 사용되는 물질의 거시단면적은 Table 1에 나타난다. 수송방 정식과 확산방정식의 차이를 관찰하기 위하여 문제 내부에 순수한 중성자 흡수물질(B 물질)을 포함시켰다.

    4.1 단순 우성 방정식(SEP)의 정확도 비교

    먼저 단순 우성 수송방정식의 정확도 검증을 위해 단순 우 성 수송방정식의 계산결과를 1계 수송방정식과 확산방정식 의 결과와 비교하였다. 사용되는 방정식의 형태 차이만을 비 교하기 위해 1계 수송방정식과 단순 우성 수송방정식에 대해 서는 공히 S4 계산을 수행하였다. 위치변수 처리를 위해 1계 수송방정식에 대해서는 기존의 DD를 사용하였고, 단순 우성 수송방정식과 확산방정식에 대해서는 타원형 방정식에 사용 하는 고전적인 유한차분법(FDM)을 사용하였다. 확산방정식 의 경우 수송이론의 진공조건을 Marshak 조건으로 대체하였 다. 세 가지 계산 모두에 대해 격자크기를 24×24로 같게 하여 격자크기 차이에 의한 효과를 배제하였다. 계산결과를 Fig. 5 에 보였는데‘DD’‘, FDM’‘, Diff’는 각각 수송방정식, 단순 우 성 수송방정식, 확산방정식의 계산결과를 나타낸다. 중성자 속은 사용되는 거시단면적과 Q 값에 의해 비례적으로 계산되 므로 구체적인 단위 없이 상대적인 크기로 비교하는 것이 유 효하다. 증배 효과가 감소하여 확산방정식의 정확도가 감소 할 것으로 예상되는 완전 흡수체 영역에서 수송방정식과 확산 방정식의 차이를 관찰할 수 있다. 하지만 단순 우성 수송방 정식은 수송방정식의 결과와 전 구간에서 잘 일치함을 확인 할 수 있다. 수송방정식의 근사로서 단순우성 수송방정식의 정당성을 재확인 하는 결과이다.

    4.2 단순 우성 방정식(SEP)에 적용된 노달 수송해 비교

    동일한 문제에 대해 단순 우성 방정식을 유한차분법(FDM), 다항식전개 노달법(PEN), 해석함수전개 노달법(AFEN)을 이용 하여 24×24 격자로 계산한 결과가 Fig. 6에 제시되었다. 세 가 지 방법 모두 일관된 결과를 보임을 알 수 있다. 이는 확산방 정식에 대해 개발되었던 기존의 PEN과 AFEN이 단순 우성 방 정식에 정확히 적용됨을 의미한다. 즉, 기존의 참고문헌([3]- [6])에서 보인 것과 같이 확산방정식에서 나타나는 노달법의 장점들이 단순우성 수송방정식에 대해서도 그대로 유지될 수 있음을 보여주는 결과이다.

    5 논의

    본 연구를 통해 기존의 확산방정식의 해법으로 개발된 노 달이론을 단순 우성 방정식에 적용할 수 있는 기본적인 수학 적 방법론을 제시하였다. 노달해법으로 다항식전개 노달법 과 해석함수전개 노달법을 사용하였고 방향변수 처리를 위 해 기존의 방향차분법을 사용하였다. 기존의 노달확산해법 이 방향 차분된 단순 우성 방정식에도 정확히 적용될 수 있 음을 수치적 결과로 보였다. 기존의 노달해법에서는 계산 정 확도를 증가시키기 위해 하나의 사각형 노드 당 9개 이상의 많은 수의 미지수를 사용하지만 본 연구에서는 방법론 개발 에 목적이 있으므로 5개의 미지수만을 정의하여 사용하였다. 제시된 방법에 꼭지점중성자속 등의 미지수를 추가함으로써 정확도를 증가시킬 수 있음은 기존의 노달확산이론의 결과 로 알 수 있다. 즉 노달해법을 적용하는 경우 소격격자에 대 해서도 계산 정확성이 확보되고 이는 결국 계산 효율성 증대 로 이루어진다.

    감사의 글

    이 논문은 2018년도 홍익대학교 학술연구진흥비에 의해 지 원되었음.

    Figure

    JNFCWT-16-211_f1.gif

    Rectangular Node.

    JNFCWT-16-211_F2.gif

    Surface Average Flux Continuity.

    JNFCWT-16-211_F3.gif

    13-Points Relations.

    JNFCWT-16-211_F4.gif

    Sample Problem.

    JNFCWT-16-211_F5.gif

    Comparison of SEP (FDM) with Diffusion (Diff) and Transport (DD) Calculations.

    JNFCWT-16-211_F6.gif

    Comparison of SEP Nodal Methods (PEN & AFEN) with FDM.

    Table

    Macroscopic cross-sections and values

    Reference

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